Tabel Kebenaran

-
2. Tabel Kebenaran


A. Deklarasi (Proposisi)

Pernyataan adalah kalimat yang mempunyai nilai benar atau salah, tetapi tidak sekaligus benar dan salah. (pernyataan disebut juga preposisi, kalimat deklaratif). Benar diartikan ada kesesuaian antara apa yang dinyatakan dengan keadaan yang sebenarnya.

Proposisi adalah kalimat yang bernilai benar (true) atau salah (false). Preposisi selalu dinyatakan sebagai kalimat berita, bukan sebagai kalimat tanya maupun perintah. Proposisi juga merupakan kalimat yang bisa di buktikan kebenarannya,Proposisi juga dapat dinyatakan dalam angka 1 yang artinya benar dan 0 artinya salah.

Kesimpulan:

Proposisi adalah kalimat berita.

Pernyataan primer : pernyataan yang tidak mengandung kata hubung kalimat (pernyataan tunggal/pernyataan atom).
Penyataan majemuk : pernyataan yang mengandung satu atau lebih kata hubung kalimat.
Penjelasan:

– “689 > 354” = Ini adalah pernyataan dan merupakan proposisi. Nilainya benar.

– “Tembok Berlin ada di Jepang.” = Ini adalah pernyataan dan merupakan proposisi. Nilainya salah.

– “100000 < X” =Ini adalah pernyataan tetapi bukan merupakan proposisi. Belum ada nilainya karena merupakan kalimat terbuka. Disebut juga sebagai fungsi proposisi.

Berikut adalah contoh dari proposisi :

6 adalah bilangan genap
Soekarno adalah presiden pertama indonesia
15 > 12
20 – 15 = 5
Yogyakarta adalah kota pelajar (Benar).
2+2=4                (Benar).
Semua manusia adalah fana (Benar).
4 adalah bilangan prima (Salah).
5×12=90 (Salah).


Ini adalah contoh Tabel Proposisi

 Hasil gambar untuk contoh tabel kebenaran proposisis


Di bawah ini contoh yang bukan merupakan proposisi :

Dimanakah kamu tinggal ?
Kembalikan buku itu keperpustakaan !
10 + 3 = 13
Pernyataan diatas bukan merupakan preposisi karena merupakan kalimat tanya dan perintah, kalimat C tidak dapat ditentukan bukan merupakan preposisi karena merupakan kalimat tanya dan perintah, kalimat C tidak dapat ditentukan sebagi preposisi. Karena kalimat tersebut tidak dapat ditentukan nilai kebenarannya yan seharusnya hasil   dari   10 + 3 = 13. Membentuk preposisi baru dapat dengan cara mengombinasikan preposisi. Operator yang diguakan untuk mengkombisikan preposis disebut logika. Operator logika dasar yang diguakan adalah dan (and), atau (or) dan tidak (not). Preposisi baru yang didapat dari hasil pengkombinasia tersebut dinamakan dengan preposisi majemuk.



B. Ekuivalen (Sama)

Ekuivalen adalah dua atau lebih pernyataan majemuk  yang memiliki nilai kebenaran yang sama.

§  Dua kalimat disebut ekuivalen (secara logika) bila dan hanya bila keduanya mempunyai nilai kebenaran yang sama untuk semua substitusi nilai kebenaran masing-masing kalimat penyusunnya.

§  Jika p dan q adalah kalimat-kalimat yang ekuivalen, maka dituliskan p Âº q.  Jika p Âº q maka q Âº p juga.

Dua atau lebih pernyataan majemuk yang mempunyai nilai kebenaran sama disebut ekuivalensi logika dengan notasi “  dua buah pernyataan majemuk dikatakan ekuivalen, jika kedua pernyataan majemuk itu mempunyai nilai kebenaran yang sama untuk semua kemungkinan nilai kebenaran pernyataan-pernyataan komponen-komponennya.


EKUIVALEN LOGIS ( ≡ )

Kapan dikatakan suatu ekspresi logika ekuivalen logis???

1.      Jika kedua ekspresi logika adalah Tautologi ( T dan T pada Tabel Kebenaran ).
2.      Jika kedua ekspresi logika adalah Kontradiksi ( F dan F pada Tabel Kebenaran ).
3.      Pada Contingen, jika urutan T dan F atau sebaliknya pada Tabel Kebenaran tetap pada urutan yang sama.

Contoh 1 :

(1). Indah sangat cantik dan peramah.
(2). Indah peramah dan sangat cantik.

Kedua pernyataan diatas, tanpa pikir panjang, akan dikatakan ekuivalen atau sama saja. Dalam bentuk ekspresi logika dapat ditampilkan berikut ini :

A = Indah sangat cantik
B = Indah itu ramah

Ekspresi logikanya adalah :                (1). A ^ B
                                                            (2). B ^ A

Jika dikatakan kedua ekspresi logika tersebut ekuivalen secara logis, maka dapat ditulis : 

( A ^ B ) ≡ ( B ^ A )

Ekuivalen logis dari kedua ekspresi logika dapat dibuktikan dengan Tabel Kebenaran :

Hasil gambar untuk ekuivalen materi ekuivalen
Contoh  2 :
(1). Badu tidak pandai, atau dia tidak jujur.
(2). Adalah tidak benar jika Badu pandai dan jujur.
Secara intuitif dapat ditebak kalau kedua pernyataan diatas sebenarnya sama saja, tetapi bagaimana jika dibuktikan dengan tabel kebenaran berdasarkan ekspresi logika.
A = Badu pandai
B = Badu jujur
Ekspresi logikanya adalah :  (1). ¬ A v ¬ B                            (2). ¬( A ^ B )
Dengan tabel kebenaran dapat dibuktikan bahwa kedua ekspresi logika di atas ekuivalen.
Hasil gambar untuk tabel kebenaran ekuivalen
Ekspresi logika diatas belum dikatakan ekuivalen logis meskipun nilainya di tabel kebenaran sama.Untuk menjadikannya ekuivalen logis maka digunakan perangkai ekuivalensi antara kedua ekspresi logika tersebut, dan akhirnya menghasilkan tautology.


C. Tautologi dan Kontradiksi
  • Tautologi adalah pernyataan majemuk yang selalu benar untuk semua kemungkinan nilai kebenaran dari pernyataan-pernyataan komponennya. Sebuah Tautologi yang memuat pernyataan Implikasi disebut Implikasi Logis. Untuk membuktikan apakah suatu pernyataan Tautologi, maka ada dua cara yang digunakan. Cara pertama dengan menggunakan tabel kebenaran, yaitu jika semua pilihan bernilai B (benar) maka disebut Tautologi, dan cara kedua yaitu dengan melakukan penjabaran atau penurunan dengan menerapkan sebagian dari 12 hukum-hukum Ekuivalensi Logika.[1]


Contoh:
Lihat pada argumen berikut:

Jika Tono pergi kuliah, maka Tini juga pergi kuliah. Jika Siska tidur, maka Tini pergi kuliah. Dengan demikian, jika Tono pergi kuliah atau Siska tidur, maka Tini pergi kulah.
Diubah ke variabel proposional:

A  Tono pergi kuliah
B  Tini pergi kuliah
C  Siska tidur

Diubah lagi menjadi ekspresi logika yang terdiri dari premis-premis dan kesimpilan. Ekspresi logika 1 dan 2 adalah premis-premis, sedangkan ekspresi logika 3 adalah kesimpulan.

(1)   A → B  (Premis)
(2)   C → B  (premis)
(3) (A V C) → B  (kesimpulan)

Maka sekarang dapat ditulis: ((A → B) ÊŒ (C → B)) → ((A V C) → B      


A

B

C

A à B

C à B

(A à B) ^ (C à B)

A V C

( A V C) à B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
S
B
B
B
B
B
B
S
B
S
S
S
B
S
B
S
S
S
B
S
B
S
S
B
B
B
B
B
B
B
S
B
S
B
B
B
B
B
S
S
B
S
S
S
S
S
S
S
S
S
B
B
B
B
 Dari tabel kebenaran diatas menunjukkan bahwa pernyataan majemuk :
 ((A → B) ÊŒ (C → B)) → ((A V C) → B adalah semua benar (Tautologi)[2].

  • Kontradiksi adalah kebalikan dari tautologi yaitu suatu bentuk pernyataan yang hanya mempunyai contoh substansi yang salah, atau sebuah pernyataan majemuk yang salah dalam segala hal tanpa memandang nilai kebenaran dari komponen-komponennya. Untuk membuktikan apakah suatu pernyataan tersebut kontradiksi, maka ada dua cara yang digunakan. Cara pertama dengan menggunakan tabel kebenaran, yaitu jika semua pilihan bernilai F  atau salah maka disebut kontradiksi, dan cara kedua yaitu dengan melakukan penjabaran atau penurunan dengan menerapkan sebagian dari 12 hukum-hukum Ekuivalensi Logika.[4]

Contoh dari Kontradiksi:
1.      (A ÊŒ ~A)
Pembahasan:


A

~A

( A ^ ~A)

B

S

S

S

B

S
Dari tabel kebenaran diatas dapatlah disimpulkan bahwa pernyataan majemuk (A ÊŒ ~A) selalu salah.


D. Aljabar Boolean

v Aljabar Boolean adalah struktur aljabar yang "mencakup intisari" operasi logika AND, OR, NOR, dan NAND dan juga teori himpunanuntuk operasi union, interseksi dan komplemen.
Penamaan Aljabar Boolean sendiri berasal dari nama seorang matematikawan asal Inggris, bernama George Boole. Dialah yang pertama kali mendefinisikan istilah itu sebagai bagian dari sistem logika pada pertengahan abad ke-19.
Boolean adalah suatu tipe data yang hanya mempunyai dua nilai. Yaitu true atau false (benar atau salah).
Pada beberapa bahasa pemograman nilai true bisa digantikan 1 dan nilai false digantikan 0.

Aljabar Boolean Aljabar Boolean memuat variable dan simbul operasi untuk gerbang logika. Simbol yang digunakan pada aljabar Boolean adalah: (.) untuk AND, (+) untuk OR, dan ( ) untuk NOT. Rangkaian logika merupakan gabungan beberapa gerbang, untuk mempermudah penyeleseian  perhitungan secara aljabar dan pengisian tabel kebenaran digunakan sifat-sifat aljabar Boolean Dalam aljabar boolean digunakan 2 konstanta yaitu logika 0 dan logika 1. ketika logika tersebut diimplementasikan kedalam rangkaian logika maka logika tersebut akan bertaraf sebuah tegangan. kalau logika 0 bertaraf tegangan rendah (aktive low) sedangkan kalau logika 1 bertaraf tegangan tinggi (aktive high). pada teori–teori aljabar boolean ini berdasarkan aturan–aturan dasar hubungan antara variabel–variabel boolean.
·         
Dalil-dalil Boolean (Boolean postulates)
P1: X= 0 atau X=1
P2: 0 . 0 = 0
P3: 1 + 1 = 1
P4: 0 + 0 = 0
P5: 1 . 1 = 1
P6: 1 . 0 = 0 . 1 = 0
P7: 1 + 0 = 0 + 1 = 1

·         Theorema Aljabar Boolean 1.

1.       T1: Commutative Law
a. A + B = B + A  
b. A . B = B . A 2.

2.      T2: Associative Law
a. ( A + B ) + C = A + ( B + C )  
b. ( A . B ) . C = A . ( B . C )

3.      T3: Distributive Law
a. A . ( B + C ) = A . B + A . C  
b. A + ( B . C ) = ( A + B ) . ( A + C )

4.      T4: Identity Law
a. A + A = A  
b. A . A = A

5.      T5: Negation Law
1. ( A’ ) = A’
2. ( A’ )’ = A

6.      T6: Redundant Law
a. A + A . B = A  
b. A . ( A + B ) = A 7.

7.      T7: 0 + A = A
1 . A = A
1 + A = 1
0 . A = 0

8.     T8: A’ + A = 1
A’ . A = 0
9.      T9: A + A’ . B = A + B A . ( A’ + B ) = A . B

10.  T10: De Morgan’s Theorem
a. (A+B)’ = A’ . B’
b. (A . B)’= A’ + B’

Contoh Soal : Contoh :
1. X + X’ .Y = (X + X’).(X +Y) = X+Y
2. X .(X’+Y) = X.X’ + X.Y = X.Y
3. X.Y+ X’.Z+Y.Z = X.Y + X’.Z + Y.Z.(X+X)’
= X.Y + X’.Z + X.Y.Z + X’.Y.Z
= X.Y.(1+Z) + X’.Z.(1+Y)
 = X.Y + X’.Z

v  Pengecekan tipe data boolean pada C
bool my_variable = true;
if (my_variable) {
  printf("True!\1");
} else {
  printf("False!\0");
}
v  Pengecekan tipe data boolean pada javascript
var myVar = new Boolean(true);

if ( myVar ) {
    alert("boolean");   
} else {
    alert("bukan boolean");
}
v  Pengecekan tipe data Boolean pada PHP
PHP memiliki tipe data boolean dengan dua nilai true dan false (huruf besar atau kecil tidak berpengaruh).
<?php
$myVar = true;
$myString = 'String';

if (is_bool ($myVar)) {
  echo "boolean";
} else {
  echo "bukan boolean";
}

if (is_bool ($myString)) {
  echo "boolean"
} else {
  echo "bukan boolean";
}
?>
Ø  Nilai yang ekuivalen dengan false adalah:
·         false
·         zero
·         "0"
·         NULL
·         array kosong
·         string kosong

v  Aljabar boolean, adalah sistem aljabar himpunan atau proposisi yang memenuhi aturan-aturan ekivalen logis. 

a.      Misalkan B dengan operasi + (OR) dan * (AND), atau suatu komplemen, dan dua elemen yang beda 0 dan 1 yang didefinisikan pada himpunan atau proposisi, sehingga a,b dan c merupakan elemen B yang mempunyai sifat-sifat identitas, komutatif, distributif dan komplemen.
b.      Misalkan F dengan operasi + (OR) dan ● (AND), atau suatu komplemen (‘), dan dua elemen yang beda 0 dan 1 yang didefinisikan pada himpunan atau proposisi, sehingga a,b dan c merupakan elemen B yang mempunyai sifat-sifat identitas, komutatif, distributif dan komplemen.

v  Fungsi Aljabar Boolean :

Tabel Fungsi Aljabar Boolean


v  Terdapat 2 jenis Teorema dalam Aljabar Boolean :


§  Teorema variabel tunggal :
Teorema variable tunggal diperoleh dari hasil penurunan operasi logika dasar OR, AND, dan NOT yang mana teorema itu meliputi teorema 0 dan 1, identitas idempotent, komplemen dan involusi.

§  Teorema variabel jamak :
Teorema variable jamak terdiri dari teorema komutatif, distributive, asosiatif, absorsi dan morgan.

v  Hukum Aljabar Boolean
Dengan menggunakan Hukum Aljabar Boolean ini, kita dapat mengurangi dan menyederhanakan Ekspresi Boolean yang kompleks sehingga dapat mengurangi jumlah Gerbang Logika yang diperlukan dalam sebuah rangkaian Digital Elektronika.
Berikut 6 tipe Hukum yang berkaitan dengan Hukum Aljabar Boolean :

1. Hukum Komutatif (Commutative Law)

Hukum Komutatif menyatakan bahwa penukaran urutan variabel atau sinyal Input tidak akan berpengaruh terhadap Output Rangkaian Logika.
Contoh :
·         Perkalian (Gerbang Logika AND)
X.Y = Y.X
·         Penjumlahan (Gerbang Logika OR)
X+Y = Y+X
Catatan : Pada penjumlahan dan perkalian, kita dapat menukarkan posisi variabel atau dalam hal ini adalah sinyal Input, hasilnya akan tetap sama atau tidak akan mengubah keluarannya.

Hukum Komutatif

2. Hukum Asosiatif (Associative Law)

Hukum Asosiatif menyatakan bahwa urutan operasi logika tidak akan berpengaruh terhadap Output Rangkaian Logika.

Contoh :

Perkalian (Gerbang Logika AND)
W . (X . Y) = (W . X) . Y
Penjumlahan (Gerbang Logika OR)
W + (X + Y) = (W + X) + Y
Catatan : Pada penjumlahan dan perkalian, kita dapat mengelompokan posisi variabel dalam hal ini adalah urutan operasi logikanya, hasilnya akan tetap sama atau tidak akan mengubah keluarannya. Tidak peduli yang mana dihitung terlebih dahulu, hasilnya tetap akan sama. Tanda kurung hanya sekedar untuk mempermudah mengingat yang mana akan dihitung terlebih dahulu.

Hukum Asosiatif

3. Hukum Distributif

Hukum Distributif menyatakan bahwa variabel-variabel atau sinyal Input dapat disebarkan tempatnya atau diubah urutan sinyalnya, perubahan tersebut tidak akan mempengaruhi Output Keluarannya.

Hukum Asosiaif OR

4. Hukum AND (AND Law)

Disebut dengan Hukum AND karena pada hukum ini menggunakan Operasi Logika AND atau perkalian. Berikut ini contohnya :

Hukum AND

5. Hukum OR (OR Law)

Hukum OR menggunakn Operasi Logika OR atau Penjumlahan. Berikut ini adalah Contohnya :

Hukum OR

6. Hukum Inversi (Inversion Law)

Hukum Inversi menggunakan Operasi Logika NOT. Hukum Inversi ini menyatakan jika terjadi Inversi ganda (kebalikan 2 kali) maka hasilnya akan kembali ke nilai aslinya.

Gerbang Logika NOT
Jadi, jika suatu Input (masukan) diinversi (dibalik) maka hasilnya akan berlawanan. Namun jika diinversi sekali lagi, hasilnya akan kembali ke semula.

Sekian artikel tentang Tabel Kebenaran, semoga dapat berguna dan menambah ilmu .

Sumber :




Komentar

Posting Komentar

Postingan populer dari blog ini

Flowchart

-
Gambar
6. Flowchart A. Definisi Flowchart Flowchart adalah adalah suatu bagan dengan simbol-simbol tertentu yang menggambarkan urutan proses secara mendetail dan hubungan antara suatu proses (instruksi) dengan proses lainnya dalam suatu program. Flowchart atau  Bagan alir  adalah bagan  ( chart ) yang menunjukkan alir  ( flow ) di dalam program atau prosedur sistem secara logika. Bagan alir (flowchart) digunakan terutama untuk alat bantu komunikasi dan untuk dokumentasi.  B. Manfaat / Kegunaan Flowchart Sebagai Dokumentasi Prosedur Kerja dalam ISO Sebagai pedoman untuk menjalankan Operasional Sebagai pedoman untuk melakukan pelatihan terhadap Karyawan baru Sebagai  benchmark  (patokan) Sebagai Peta kerja untuk mencegah terjadi kehilangan arah Untuk mempermudah pengambilan keputusan C. Simbol Flowchart dan Fungsinya 1. Arus ( Flow Derection Symbols) Biasanya simbol yang termasuk kedalam ketegori ini digunakan sebagai sim...
Baca selengkapnya

Algoritma dan Pemprograman

-
Gambar
4.  Algoritma A. Sejarah Algoritma Para ahli sejarah matematika meyakini bahwa kata algorism berasal dari nama penulis buku juga ahli matematika berkebangsaan Arab yang terkenal yaitu Abu Ja’far Muhammad lbnu Musa Al-Khuwarizmi (770-840). Sebagian referensi menulis Abu Abdullah Muhammad lbnu Musa Al-Khawarizrni. Orang barat melafalkan Al-Khuwarizmi dengan algorism. Entah karena Al-Khuwarizmi seorang algorist yang pintar, kemudian untuk selanjutnya dikenal dengan algorism sebagai definisi untuk langkah penyelesaian suatu masalah yang menghasilkan solusi oleh orang barat. Al-Khuwarizmi lahir di Khwarizm (kheva), kota yang terletak di selatan Sungai Oxus (sekarang Uzbekistan). Ketika masih kecil, ia pindah bersama orangtuanya ke selatan kota Baghdad (Irak). Salah satu buku Al-Khuwarizmi yang terkenal adalah Kitab Al Jabar Wal-Muqabala yang berarti “Buku pemugaran dan pengurangan” (The book of restoration and reduction). Dari judul buku itu jugalah ...
Baca selengkapnya

Logika Informatika

-
Gambar
1. Logika Informasi A. Pengantar Logika Logika berasal dari kata bahasa Yunani “logos”. Dalam bahasa Inggris lebih dekat dengan istilah “thought” atau “reason”. Definisi Logika adalah ilmu pengetahuan yang mempelajari atau berkaitan dengan prinsip-prinsip dari penalaran argument yang valid. Logika di sini disebut logika simbol karena ia mempelajari usaha-usaha menyimbolisasikan logika secara formal. Disebut juga logika formal. Logika dipelajari sebagai sistem formal yang menjelaskan peranan sekumpulan rumus-rumus ataupun sekumpulan aturan untuk derivasi. Derivasi dipahami sebagai pembuktian validitas argument yang kuat dengan didukung kenyataan bahwa kesimpulan yang benar harus diperoleh dari premis-premis yang benar. Logika matematika adalah cabang logika dan matematika yang mengandung kajian matematis logika dan aplikasi kajian ini pada bidang-bidang lain di luar matematika. Logika matematika berhubungan erat dengan ilmu komputer dan logika filosofis. Tema utama dalam lo...
Baca selengkapnya